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2016河南公务员考试行测备考:不定方程的解法

信息来源:作者:国培教育点击率:日期:2017-04-01 13:15:46

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        近年来,2016河南公务员行测考试中不定方程出现的频率较高,例如2015年河南省考63题、2014年河南省考34题等。为了帮助各位学员更好的备考,这里将系统的讲解一下不定方程的解法。

  首先了解一下什么是不定方程。未知数的个数大于方程的个数,并且未知数受到限制(比如要求是整数、正整数、有理数等),这样的方程被称为不定方程。类似于ax+by=c,从这个式子中能够看出,不定方程有无数组解,解不是唯一的。但是,在数学运算题目有且只有一个解,所以为了保证答案的唯一性,题干中都会对未知数做出限制。因此,在解决不定方程问题时,一定要注意限定条件。

  解决不定方程的实质为:找到一组符合题干条件的(x y)使方程成立。问题是,怎样在无数组(x y)中快速找到这组?最容易想到的方法是一一试验,将x=1、2、3、4……代入,看得到的y值是否符合题意。但这样做的话,有可能非常费时。既然一一代入自然数麻烦,不妨换个思路,尝试代入选项,最多代入三次就能得到正确答案。这就是,解决不定方程最常用的方法:代入排除法。

  【例1】(2015河南省考-63)某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干辆,某日该公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共有79人,且每支车队都满载,问该公司轿车数量比面包车多多少辆?

  A. 5 B. 6

  C. 7 D. 8

  【解析】假设该公司轿车数量为x,面包车数量为y。根据题意得4x+7y=79,这是一个不定方程,要注意寻找题干的限定条件。根据“将所有车辆分成车辆数相等的两个车队”,得到限定条件:x+y=偶数。所以x-y=偶数(奇偶特性,若任意两个数的和是偶数,那么差也是偶数),排除答案AC。接着就是解不定方程的问题了,将选项看成是题目给出的一个条件,代回题干。比如,代入选项D得,

  x-y=8

  4x+7y=79

  解方程组,得x=135/11,y=46/11,而轿车和面包车的数量必须是整数,所以这组解不符合题意,选项D错误,答案为B。

  采用代入排除法解答例1这道题时,只解一次方程就得到答案。但有些题目需要解三次才能得到答案,遇到这种情况时,代入排除法没有显示出它的快速解题性能,不适用于解答这种题目,这时可以考虑数字特性,包括奇偶特性、尾数法和倍数特性。

  【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?()

  A. 3B. 4

  C. 7D. 13

  【解析】假设大包装盒用了x个,小包装盒用了y个,根据题意得到

  x+y>10(限定条件),12x+5y=99(不定方程),求x-y=?

  这是一道明显的不定方程问题,如果采用代入排除法做的话,要解多个方程组,计算量太大,不妨考虑数字特性。

  先看奇偶性:99为奇数,12x为偶数,则5y为奇数

  再看尾数:99的尾数为9,5y的尾数为5,所以12x尾数为4

  所以x的可能值为2、7。当x=2,代入不定方程,得y=15,满足限定条件,符合题意,所以这是我们要找的一组解,此时两种包装盒相差13个,答案为D。

  总之,不定方程常用的两种解法为:代入排除法和数字特性。其中代入排除可以解决几乎所有的不定方程问题。通过以上的例题,希望为大家的备考提供帮助。

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